Matematika (dari bahasa Yunani:
ฮผฮฑฮธฮทฮผฮฑฯฮนฮบฮฌ -
mathฤmatikรก)
adalah studi besaran, struktur, ruang, dan perubahan. Para
matematikawan mencari berbagai pola,[2][3] merumuskan konjektur baru,
dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari
aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian.[4]
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika seperti
bilangan dan titik hadir secara alami, atau hanyalah buatan manusia.
Seorang matematikawan Benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu
yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting".[5] Di pihak lain,
Albert Einstein menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk
kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti,
mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Melalui penggunaan penalaran logika dan abstraksi, matematika
berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran, dan pengkajian
sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika.
Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia sejak adanya rekaman
tertulis. Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani,
terutama di dalam karya Euklides,
Elemen. Matematika selalu
berkembang, misalnya di Cina pada tahun 300 SM, di India pada tahun 100
M, dan di Arab pada tahun 800 M, hingga zaman Renaisans, ketika temuan
baru matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru yang mengarah
pada peningkatan yang cepat di dalam laju penemuan matematika yang
berlanjut hingga kini.[7]
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di
berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu
sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang
matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke
bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan
matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan
disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika dan
teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika
murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa
adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang
menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan
terkemudian.[8]
Etimologi
Kata "matematika" berasal dari bahasa Yunani Kuno ฮผฮฌฮธฮทฮผฮฑ (
mรกthฤma), yang berarti
pengkajian,
pembelajaran,
ilmu,
yang ruang lingkupnya menyempit, dan arti teknisnya menjadi
"pengkajian matematika", bahkan demikian juga pada zaman kuno. Kata
sifatnya adalah ฮผฮฑฮธฮทฮผฮฑฯฮนฮบฯฯ (
mathฤmatikรณs),
berkaitan dengan pengkajian, atau
tekun belajar, yang lebih jauhnya berarti
matematis. Secara khusus, ฮผฮฑฮธฮทฮผฮฑฯฮนฮบแฝด ฯฮญฯฮฝฮท (
mathฤmatikแธ tรฉkhnฤ), di dalam bahasa Latin
ars mathematica, berarti
seni matematika.
Bentuk jamak sering dipakai di dalam bahasa Inggris, seperti juga di dalam bahasa Perancis
les mathรฉmatiques (dan jarang digunakan sebagai turunan bentuk tunggal
la mathรฉmatique), merujuk pada bentuk jamak bahasa Latin yang cenderung netral
mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak bahasa Yunani ฯฮฑ ฮผฮฑฮธฮทฮผฮฑฯฮนฮบฮฌ (
ta mathฤmatikรก),
yang dipakai Aristotle, yang terjemahan kasarnya berarti "segala hal
yang matematis".[9] Tetapi, di dalam bahasa Inggris, kata benda
mathematics mengambil bentuk tunggal bila dipakai sebagai kata kerja. Di dalam ragam percakapan, matematika kerap kali disingkat sebagai
math di Amerika Utara dan
maths di tempat lain.
Sejarah
Sebuah quipu, yang dipakai oleh Inca untuk mencatatkan bilangan.
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Sejarah matematika
Evolusi matematika dapat dipandang sebagai sederetan abstraksi yang
selalu bertambah banyak, atau perkataan lainnya perluasan pokok
masalah. Abstraksi mula-mula, yang juga berlaku pada banyak
binatang[10], adalah tentang bilangan: pernyataan bahwa dua apel dan
dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.
Selain mengetahui cara mencacah objek-objek
fisika, manusia prasejarah juga mengenali cara mencacah besaran
abstrak,
seperti waktu — hari, musim, tahun. Aritmetika dasar (penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian) mengikuti secara alami.
Langkah selanjutnya memerlukan penulisan atau sistem lain untuk
mencatatkan bilangan, semisal tali atau dawai bersimpul yang disebut
quipu dipakai oleh bangsa Inca untuk menyimpan data numerik. Sistem
bilangan ada banyak dan bermacam-macam, bilangan tertulis yang pertama
diketahui ada di dalam naskah warisan Mesir Kuno di Kerajaan Tengah
Mesir, Lembaran Matematika Rhind.
Sistem bilangan Maya
Penggunaan terkuno matematika adalah di dalam perdagangan, pengukuran
tanah, pelukisan, dan pola-pola penenunan dan pencatatan waktu dan
tidak pernah berkembang luas hingga tahun 3000 SM ke muka ketika orang
Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar, dan
geometri untuk penghitungan pajak dan urusan keuangan lainnya, bangunan
dan konstruksi, dan astronomi.[11] Pengkajian matematika yang
sistematis di dalam kebenarannya sendiri dimulai pada zaman Yunani Kuno
antara tahun 600 dan 300 SM.
Matematika sejak saat itu segera berkembang luas, dan terdapat
interaksi bermanfaat antara matematika dan sains, menguntungkan kedua
belah pihak. Penemuan-penemuan matematika dibuat sepanjang sejarah dan
berlanjut hingga kini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, pada Januari 2006
terbitan Bulletin of the American Mathematical Society, "Banyaknya
makalah dan buku yang dilibatkan di dalam basis data Mathematical
Reviews sejak 1940 (tahun pertama beroperasinya MR) kini melebihi 1,9
juta, dan melebihi 75 ribu artikel ditambahkan ke dalam basis data itu
tiap tahun. Sebagian besar karya di samudera ini berisi teorema
matematika baru beserta bukti-buktinya."[12]
Ilham, matematika murni dan terapan, dan estetika
Sir Isaac Newton (1643-1727), seorang penemu kalkulus infinitesimal.
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Keindahan matematika
Matematika muncul pada saat dihadapinya masalah-masalah yang rumit yang
melibatkan kuantitas, struktur, ruang, atau perubahan. Mulanya
masalah-masalah itu dijumpai di dalam perdagangan, pengukuran tanah,
dan kemudian astronomi; kini, semua ilmu pengetahuan menganjurkan
masalah-masalah yang dikaji oleh para matematikawan, dan banyak masalah
yang muncul di dalam matematika itu sendiri. Misalnya, seorang
fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika
kuantum menggunakan paduan nalar matematika dan wawasan fisika, dan
teori dawai masa kini, teori ilmiah yang masih berkembang yang berupaya
membersatukan empat gaya dasar alami, terus saja mengilhami matematika
baru.[13] Beberapa matematika hanya bersesuaian di dalam wilayah yang
mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lanjutan di
wilayah itu. Tetapi seringkali matematika diilhami oleh bukti-bukti di
satu wilayah ternyata bermanfaat juga di banyak wilayah lainnya, dan
menggabungkan persediaan umum konsep-konsep matematika. Fakta yang
menakjubkan bahwa matematika "paling murni" sering beralih menjadi
memiliki terapan praktis adalah apa yang Eugene Wigner memanggilnya
sebagai "Ketidakefektifan Matematika tak ternalar di dalam Ilmu
Pengetahuan Alam".[14]
Seperti di sebagian besar wilayah pengkajian, ledakan pengetahuan di
zaman ilmiah telah mengarah pada pengkhususan di dalam matematika. Satu
perbedaan utama adalah di antara matematika murni dan matematika
terapan: sebagian besar matematikawan memusatkan penelitian mereka
hanya pada satu wilayah ini, dan kadang-kadang pilihan ini dibuat
sedini perkuliahan program sarjana mereka. Beberapa wilayah matematika
terapan telah digabungkan dengan tradisi-tradisi yang bersesuaian di
luar matematika dan menjadi disiplin yang memiliki hak tersendiri,
termasuk statistika, riset operasi, dan ilmu komputer.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek
estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara
tentang
keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan
keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai.
Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang
diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga
banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa
perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di
dalam
A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa
penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung
pengkajian matematika murni.[15] Para matematikawan sering bekerja
keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul
Erdลs sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di
mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya.[16][17]
Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan
banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.
Notasi, bahasa, dan kekakuan
Leonhard Euler. Mungkin seorang matematikawan yang terbanyak menghasilkan temuan sepanjang masa
Artikel utama untuk bagian ini adalah: Notasi matematika
Sebagian besar notasi matematika yang digunakan saat ini tidaklah
ditemukan hingga abad ke-16.[18] Pada abad ke-18, Euler bertanggung
jawab atas banyak notasi yang digunakan saat ini. Notasi modern membuat
matematika lebih mudah bagi para profesional, tetapi para pemula
sering menemukannya sebagai sesuatu yang mengerikan. Terjadi pemadatan
yang amat sangat: sedikit lambang berisi informasi yang kaya. Seperti
notasi musik, notasi matematika modern memiliki tata kalimat yang kaku
dan menyandikan informasi yang barangkali sukar bila dituliskan menurut
cara lain.
Bahasa matematika dapat juga terkesan sukar bagi para pemula. Kata-kata seperti
atau dan
hanya memiliki arti yang lebih presisi daripada di dalam percakapan sehari-hari. Selain itu, kata-kata semisal
terbuka dan
lapangan memberikan arti khusus matematika. Jargon matematika termasuk istilah-istilah teknis semisal
homomorfisme dan
terintegralkan.
Tetapi ada alasan untuk notasi khusus dan jargon teknis ini:
matematika memerlukan presisi yang lebih dari sekadar percakapan
sehari-hari. Para matematikawan menyebut presisi bahasa dan logika ini
sebagai "kaku" (
rigor).
Lambang ketakhinggaan
∞ di dalam beberapa gaya sajian.
Kaku secara mendasar adalah tentang bukti matematika. Para
matematikawan ingin teorema mereka mengikuti aksioma-aksioma dengan
maksud penalaran yang sistematik. Ini untuk mencegah "teorema" yang
salah ambil, didasarkan pada praduga kegagalan, di mana banyak contoh
pernah muncul di dalam sejarah subjek ini.[19] Tingkat kekakuan
diharapkan di dalam matematika selalu berubah-ubah sepanjang waktu:
bangsa Yunani menginginkan dalil yang terperinci, namun pada saat itu
metode yang digunakan Isaac Newton kuranglah kaku. Masalah yang melekat
pada definisi-definisi yang digunakan Newton akan mengarah kepada
munculnya analisis saksama dan bukti formal pada abad ke-19. Kini, para
matematikawan masih terus beradu argumentasi tentang bukti
berbantuan-komputer. Karena perhitungan besar sangatlah sukar diperiksa,
bukti-bukti itu mungkin saja tidak cukup kaku.[20]
Aksioma menurut pemikiran tradisional adalah "kebenaran yang menjadi
bukti dengan sendirinya", tetapi konsep ini memicu persoalan. Pada
tingkatan formal, sebuah aksioma hanyalah seutas dawai lambang, yang
hanya memiliki makna tersirat di dalam konteks semua rumus yang
terturunkan dari suatu sistem aksioma. Inilah tujuan program Hilbert
untuk meletakkan semua matematika pada sebuah basis aksioma yang kokoh,
tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gรถdel tiap-tiap sistem aksioma
(yang cukup kuat) memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan; dan
oleh karena itulah suatu aksiomatisasi terakhir di dalam matematika
adalah mustahil. Meski demikian, matematika sering dibayangkan (di
dalam konteks formal) tidak lain kecuali teori himpunan di beberapa
aksiomatisasi, dengan pengertian bahwa tiap-tiap pernyataan atau bukti
matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.[21]
Matematika sebagai ilmu pengetahuan
Carl Friedrich Gauss, menganggap dirinya sebagai "pangerannya para
matematikawan", dan mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu
Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss mengatakan matematika sebagai "Ratunya Ilmu Pengetahuan".[22] Di dalam bahasa aslinya, Latin
Regina Scientiarum, juga di dalam bahasa Jerman
Kรถnigin der Wissenschaften, kata yang bersesuaian dengan
ilmu pengetahuan
berarti (lapangan) pengetahuan. Jelas, inipun arti asli di dalam
bahasa Inggris, dan tiada keraguan bahwa matematika di dalam konteks
ini adalah sebuah ilmu pengetahuan. Pengkhususan yang mempersempit
makna menjadi ilmu pengetahuan
alam adalah di masa
terkemudian. Bila seseorang memandang ilmu pengetahuan hanya terbatas
pada dunia fisika, maka matematika, atau sekurang-kurangnya matematika
murni, bukanlah ilmu pengetahuan. Albert Einstein menyatakan bahwa
"sejauh
hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, maka mereka tidaklah
pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."[6]
Banyak filsuf yakin bahwa matematika tidaklah terpalsukan berdasarkan
percobaan, dan dengan demikian bukanlah ilmu pengetahuan per definisi
Karl Popper.[23] Tetapi, di dalam karya penting tahun 1930-an tentang
logika matematika menunjukkan bahwa matematika tidak bisa direduksi
menjadi logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori
matematika, seperti halnya fisika dan biologi, adalah
hipotetis-deduktif: oleh karena itu matematika menjadi lebih dekat ke
ilmu pengetahuan alam yang hipotesis-hipotesisnya adalah konjektur
(dugaan), lebih daripada sebagai hal yang baru."[24] Para bijak bestari
lainnya, sebut saja Imre Lakatos, telah menerapkan satu versi pemalsuan
kepada matematika itu sendiri.
Sebuah tinjauan alternatif adalah bahwa lapangan-lapangan ilmiah
tertentu (misalnya fisika teoretis) adalah matematika dengan
aksioma-aksioma yang ditujukan sedemikian sehingga bersesuaian dengan
kenyataan. Faktanya, seorang fisikawan teoretis, J. M. Ziman,
mengajukan pendapat bahwa ilmu pengetahuan adalah
pengetahuan umum
dan dengan demikian matematika termasuk di dalamnya.[25] Di beberapa
kasus, matematika banyak saling berbagi dengan ilmu pengetahuan fisika,
sebut saja penggalian dampak-dampak logis dari beberapa anggapan.
Intuisi dan percobaan juga berperan penting di dalam perumusan
konjektur-konjektur, baik itu di matematika, maupun di ilmu-ilmu
pengetahuan (lainnya). Matematika percobaan terus bertumbuh kembang,
mengingat kepentingannya di dalam matematika, kemudian komputasi dan
simulasi memainkan peran yang semakin menguat, baik itu di ilmu
pengetahuan, maupun di matematika, melemahkan objeksi yang mana
matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Di dalam bukunya yang
diterbitkan pada 2002
A New Kind of Science, Stephen Wolfram
berdalil bahwa matematika komputasi pantas untuk digali secara empirik
sebagai lapangan ilmiah di dalam haknya/kebenarannya sendiri.
Pendapat-pendapat para matematikawan terhadap hal ini adalah beraneka
macam. Banyak matematikawan merasa bahwa untuk menyebut wilayah mereka
sebagai ilmu pengetahuan sama saja dengan menurunkan kadar kepentingan
sisi estetikanya, dan sejarahnya di dalam tujuh seni liberal
tradisional; yang lainnya merasa bahwa pengabaian pranala ini terhadap
ilmu pengetahuan sama saja dengan memutar-mutar mata yang buta terhadap
fakta bahwa antarmuka antara matematika dan penerapannya di dalam ilmu
pengetahuan dan rekayasa telah mengemudikan banyak pengembangan di
dalam matematika. Satu jalan yang dimainkan oleh perbedaan sudut
pandang ini adalah di dalam perbincangan filsafat apakah matematika
diciptakan (seperti di dalam seni) atau
ditemukan
(seperti di dalam ilmu pengetahuan). Adalah wajar bagi universitas
bila dibagi ke dalam bagian-bagian yang menyertakan departemen
Ilmu Pengetahuan dan Matematika,
ini menunjukkan bahwa lapangan-lapangan itu dipandang bersekutu tetapi
mereka tidak seperti dua sisi keping uang logam. Pada tataran
praktisnya, para matematikawan biasanya dikelompokkan bersama-sama para
ilmuwan pada tingkatan kasar, tetapi dipisahkan pada tingkatan akhir.
Ini adalah salah satu dari banyak perkara yang diperhatikan di dalam
filsafat matematika.
Penghargaan matematika umumnya dipelihara supaya tetap terpisah dari
kesetaraannya dengan ilmu pengetahuan. Penghargaan yang adiluhung di
dalam matematika adalah Fields Medal (medali lapangan),[26][27]
dimulakan pada 1936 dan kini diselenggarakan tiap empat tahunan.
Penghargaan ini sering dianggap setara dengan Hadiah Nobel ilmu
pengetahuan. Wolf Prize in Mathematics, dilembagakan pada 1978,
mengakui masa prestasi, dan penghargaan internasional utama lainnya,
Hadiah Abel, diperkenalkan pada 2003. Ini dianugerahkan bagi ruas
khusus karya, dapat berupa pembaharuan, atau penyelesaian masalah yang
terkemuka di dalam lapangan yang mapan. Sebuah daftar terkenal
berisikan 23 masalah terbuka, yang disebut "masalah Hilbert", dihimpun
pada 1900 oleh matematikawan Jerman David Hilbert. Daftar ini meraih
persulangan yang besar di antara para matematikawan, dan paling sedikit
sembilan dari masalah-masalah itu kini terpecahkan. Sebuah daftar baru
berisi tujuh masalah penting, berjudul "Masalah Hadiah Milenium",
diterbitkan pada 2000. Pemecahan tiap-tiap masalah ini berhadiah US$ 1
juta, dan hanya satu (hipotesis Riemann) yang mengalami penggandaan di
dalam masalah-masalah Hilbert.
Bidang-bidang matematika
Sebuah sempoa, alat hitung sederhana yang dipakai sejak zaman kuno.
Disiplin-disiplin utama di dalam matematika pertama muncul karena
kebutuhan akan perhitungan di dalam perdagangan, untuk memahami
hubungan antarbilangan, untuk mengukur tanah, dan untuk meramal
peristiwa astronomi. Empat kebutuhan ini secara kasar dapat dikaitkan
dengan pembagian-pembagian kasar matematika ke dalam pengkajian
besaran, struktur, ruang, dan perubahan (yakni aritmetika, aljabar,
geometri, dan analisis). Selain pokok bahasan itu, juga terdapat
pembagian-pembagian yang dipersembahkan untuk pranala-pranala
penggalian dari jantung matematika ke lapangan-lapangan lain: ke
logika, ke teori himpunan (dasar), ke matematika empirik dari aneka
macam ilmu pengetahuan (matematika terapan), dan yang lebih baru adalah
ke pengkajian kaku akan ketakpastian.
Besaran
Pengkajian besaran dimulakan dengan bilangan, pertama bilangan asli dan
bilangan bulat ("semua bilangan") dan operasi aritmetika di ruang
bilangan itu, yang dipersifatkan di dalam aritmetika. Sifat-sifat yang
lebih dalam dari bilangan bulat dikaji di dalam teori bilangan, dari
mana datangnya hasil-hasil popular seperti Teorema Terakhir Fermat.
Teori bilangan juga memegang dua masalah tak terpecahkan: konjektur
prima kembar dan konjektur Goldbach.
Karena sistem bilangan dikembangkan lebih jauh, bilangan bulat diakui
sebagai himpunan bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Sementara
bilangan pecahan berada di dalam bilangan real, yang dipakai untuk
menyajikan besaran-besaran kontinu. Bilangan real diperumum menjadi
bilangan kompleks. Inilah langkah pertama dari jenjang bilangan yang
beranjak menyertakan kuarternion dan oktonion. Perhatian terhadap
bilangan asli juga mengarah pada bilangan transfinit, yang memformalkan
konsep pencacahan ketakhinggaan. Wilayah lain pengkajian ini adalah
ukuran, yang mengarah pada bilangan kardinal dan kemudian pada konsepsi
ketakhinggaan lainnya: bilangan aleph, yang memungkinkan perbandingan
bermakna tentang ukuran himpunan-himpunan besar ketakhinggaan.
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan rasional Bilangan real Bilangan kompleks
Ruang
Pengkajian ruang bermula dengan geometri – khususnya, geometri euclid.
Trigonometri memadukan ruang dan bilangan, dan mencakupi Teorema
pitagoras yang terkenal. Pengkajian modern tentang ruang memperumum
gagasan-gagasan ini untuk menyertakan geometri berdimensi lebih tinggi,
geometri tak-euclid (yang berperan penting di dalam relativitas umum)
dan topologi. Besaran dan ruang berperan penting di dalam geometri
analitik, geometri diferensial, dan geometri aljabar. Di dalam geometri
diferensial terdapat konsep-konsep buntelan serat dan kalkulus lipatan.
Di dalam geometri aljabar terdapat penjelasan objek-objek geometri
sebagai himpunan penyelesaian persamaan polinom, memadukan konsep-konsep
besaran dan ruang, dan juga pengkajian grup topologi, yang memadukan
struktur dan ruang. Grup lie biasa dipakai untuk mengkaji ruang,
struktur, dan perubahan. Topologi di dalam banyak percabangannya mungkin
menjadi wilayah pertumbuhan terbesar di dalam matematika abad ke-20,
dan menyertakan konjektur poincarรฉ yang telah lama ada dan teorema empat
warna, yang hanya "berhasil" dibuktikan dengan komputer, dan belum
pernah dibuktikan oleh manusia secara manual.
Geometri Trigonometri Geometri diferensial Topologi Geometri fraktal
Perubahan
Memahami dan menjelaskan perubahan adalah tema biasa di dalam ilmu
pengetahuan alam, dan kalkulus telah berkembang sebagai alat yang
penuh-daya untuk menyeledikinya. Fungsi-fungsi muncul di sini, sebagai
konsep penting untuk menjelaskan besaran yang berubah. Pengkajian kaku
tentang bilangan real dan fungsi-fungsi berpeubah real dikenal sebagai
analisis real, dengan analisis kompleks lapangan yang setara untuk
bilangan kompleks. Hipotesis Riemann, salah satu masalah terbuka yang
paling mendasar di dalam matematika, dilukiskan dari analisis kompleks.
Analisis fungsional memusatkan perhatian pada ruang fungsi (biasanya
berdimensi tak-hingga). Satu dari banyak terapan analisis fungsional
adalah mekanika kuantum. Banyak masalah secara alami mengarah pada
hubungan antara besaran dan laju perubahannya, dan ini dikaji sebagai
persamaan diferensial. Banyak gejala di alam dapat dijelaskan
menggunakan sistem dinamika; teori kekacauan mempertepat jalan-jalan di
mana banyak sistem ini memamerkan perilaku deterministik yang masih
saja belum terdugakan.
Kalkulus Kalkulus vektor Persamaan diferensial Sistem dinamika Teori chaos Analisis kompleks
Struktur
Banyak objek matematika, semisal himpunan bilangan dan fungsi,
memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek
ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan
sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Ini
adalah lapangan aljabar abstrak. Sebuah konsep penting di sini yakni
vektor, diperumum menjadi ruang vektor, dan dikaji di dalam aljabar
linear. Pengkajian vektor memadukan tiga wilayah dasar matematika:
besaran, struktur, dan ruang. Kalkulus vektor memperluas lapangan itu
ke dalam wilayah dasar keempat, yakni perubahan. Kalkulus tensor
mengkaji kesetangkupan dan perilaku vektor yang dirotasi. Sejumlah
masalah kuno tentang Kompas dan konstruksi garis lurus akhirnya
terpecahkan oleh Teori galois.
Teori bilangan Aljabar abstrak Teori grup Teori orde
Dasar dan filsafat
Untuk memeriksa dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan
teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori yang masih
dikembangkan. Kata majemuk "krisis dasar" mejelaskan pencarian dasar
kaku untuk matematika yang mengambil tempat pada dasawarsa 1900-an
sampai 1930-an.[28] Beberapa ketaksetujuan tentang dasar-dasar
matematika berlanjut hingga kini. Krisis dasar dipicu oleh sejumlah
silang sengketa pada masa itu, termasuk kontroversi teori himpunan
Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.
Logika matematika diperhatikan dengan meletakkan matematika pada sebuah
kerangka kerja aksiomatis yang kaku, dan mengkaji hasil-hasil kerangka
kerja itu. Logika matematika adalah rumah bagi Teori ketaklengkapan
kedua Gรถdel, mungkin hasil yang paling dirayakan di dunia logika, yang
(secara informal) berakibat bahwa suatu sistem formal yang berisi
aritmetika dasar, jika
suara (maksudnya semua teorema yang dapat dibuktikan adalah benar), maka
tak-lengkap (maksudnya terdapat teorema sejati yang tidak dapat dibuktikan
di dalam sistem itu).
Gรถdel menunjukkan cara mengonstruksi, sembarang kumpulan aksioma
bilangan teoretis yang diberikan, sebuah pernyataan formal di dalam
logika yaitu sebuah bilangan sejati-suatu fakta teoretik, tetapi tidak
mengikuti aksioma-aksioma itu. Oleh karena itu, tiada sistem formal yang
merupakan aksiomatisasi sejati teori bilangan sepenuhnya. Logika
modern dibagi ke dalam teori rekursi, teori model, dan teori
pembuktian, dan terpaut dekat dengan ilmu komputer teoretis.
Logika matematika Teori himpunan Teori kategori
Matematika diskret
Matematika diskret adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang
paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori
komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi.
Teori komputabilitas memeriksa batasan-batasan berbagai model teoretis
komputer, termasuk model yang dikenal paling berdaya - Mesin turing.
Teori kompleksitas adalah pengkajian traktabilitas oleh komputer;
beberapa masalah, meski secara teoretis terselesaikan oleh komputer,
tetapi cukup mahal menurut konteks waktu dan ruang, tidak dapat
dikerjakan secara praktis, bahkan dengan cepatnya kemajuan perangkat
keras komputer. Pamungkas, teori informasi memusatkan perhatian pada
banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh
karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.
Sebagai lapangan yang relatif baru, matematika diskret memiliki
sejumlah masalah terbuka yang mendasar. Yang paling terkenal adalah
masalah "P=NP?", salah satu Masalah Hadiah Milenium.[29]
Kombinatorika Teori komputasi Kriptografi Teori graf
Matematika terapan
Matematika terapan berkenaan dengan penggunaan alat matematika abstrak
guna memecahkan masalah-masalah konkret di dalam ilmu pengetahuan,
bisnis, dan wilayah lainnya. Sebuah lapangan penting di dalam
matematika terapan adalah statistika, yang menggunakan teori peluang
sebagai alat dan membolehkan penjelasan, analisis, dan peramalan gejala
di mana peluang berperan penting. Sebagian besar percobaan, survey,
dan pengkajian pengamatan memerlukan statistika. (Tetapi banyak
statistikawan, tidak menganggap mereka sendiri sebagai matematikawan,
melainkan sebagai kelompok sekutu.) Analisis numerik menyelidiki metode
komputasional untuk memecahkan masalah-masalah matematika secara
efisien yang biasanya terlalu lebar bagi kapasitas numerik manusia;
analisis numerik melibatkan pengkajian galat pemotongan atau
sumber-sumber galat lain di dalam komputasi